算法与数据结构学习

前言

• 算法讲解汇总的网站 OI wiki

一、数学知识复习

对数

定理 1.1

$$ log_A{B} = \frac{log_C{B}}{log_C{A}} ; C > 0 $$

级数

几何级数公式

$$ \sum_{i = 0}^{N}2^i = 2^{N+1} - 1 $$

$$ \sum_{i = 0}^{N}A^i = \frac{A^{N+1} - 1}{A - 1} $$

当N趋于$\infty$时，该和趋于$\frac{1}{1-A}$。

二、算法分析

1. 数学基础

1.1. 四个定义

• 如果存在正常数 $c$ 和 $n_0$ 使得当 $N \geq n_0$ 时 $T(N) \leq cf(N)$ ，则即为 $T(N) = O(f(N))$ 。
• 如果存在正常数 $c$ 和 $n_0$ 使得当 $N \geq n_0$ 时 $T(N) \geq cg(N)$ ，则即为 $T(N) = \Omega(f(N))$ 。
• $T(N) = \Theta (h(N))$ 当且仅当 $T(N) = O(h(N))$ 且 $T(N) = \Omega(h(N))$ 。
• 如果 $T(N) = O(p(N))$ 且 $T(N) \neq \Theta(p(N))$ ，则 $T(N) = o(p(N))$

2. 排列组合

2.1. 公式记录

• n个不同元素取m个，关心顺序。为排列，使用A表示

$$ A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!} $$

• n个不同元素取m个，不关心顺序。为组合，使用C表示
  • 排列的方式除以顺序造成的多余方案数

$$ C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!} $$
$$ C_n^m = C_n^{n-m} $$

3. 质数

使用欧拉线性筛计算出来的 $10^n$ 以内的质数的数量

10 4
100 25
1000 168
10000 1229
100000 9592
1000000 78498
10000000 664579
100000000 5761455

3.1. 埃氏筛

• 埃氏筛是将一个合数分成一个质数乘以一个整数，那么循环所有的数，将他们乘以小于自己的质数，得到的结果一定不是质数
• 那么循环到某个数时，如果其没有被小于自己的数排掉，那么一定是质数

证明

• 反证法，如果有一个合数x没有被排掉，可以分为 $x = a \times b，a为因数中最小的质数$
• b为合数一定大于a，因为b也可以分为质因数相乘，a为其中最小的；b为质数同样大于a
• 在循环到b时，乘以小于自己的所有质数，到a时一定会把x排除掉，假设不成立，证明是可行的

3.2. 欧拉线性筛：使用O(n)的时间复杂度找出n以内的所有质数

• 核心思想是埃氏筛，但是使用一个提前退出将时间复杂度降到O(n)
• 当一个合数 $x = a \times b$，其中b为a的倍数，a为质数，遍历到x时提前退出的唯一顾虑是 $n = x \times c = a \times b \times c，c为质数$ 没有做排除
• 当遍历到 $b \times c$ 时，会将n进行排除，所以此顾虑消失，提前退出减少循环计算次数

const mx int = 1e8

var primes []int = make([]int, 0, 5*1e7)

func main() {
	flag := make([]bool, mx+1) // 标记数有没有被筛掉，false就是没有
	check := 10                // 打印使用
	for i := 2; i < mx+1; i++ {
		if !flag[i] {
			// 数没有被比自己小的数筛掉，就代表是质数
			primes = append(primes, i)
		}
		for _, v := range primes {
			if i*v > mx {
				break
			}
			// 每一个数都作为因子乘以比自己小的素数筛掉后面的数
			flag[i*v] = true
			if i%v == 0 {
				// 减少时间复杂度的关键算法
				// 12 = 2 * 3 * 2，i = 4时，只排了8就退出了，因为6会将12排除
				// 也就是，假设v可以整除i即i = kv，有某个数为x = mi = kmv
				//        那么存在一个数 i < km < x可以把x排掉，用i乘以所有的质数去排除就没什么意义了，提前退出减少时间复杂度
				break
			}
		}
		// 仅打印使用
		if i == check {
			fmt.Println(i, len(primes))
			check *= 10
		}
	}
}

三、数据结构

1. 树

1.1. 公共部分

1) 遍历

(1) 树的深度优先和广度优先遍历

定义树结构

深度优先遍历

深度优先遍历（Depth First Search），简称DFS，其原则是，沿着一条路径一直找到最深的那个节点，当没有子节点的时候，返回上一级节点，寻找其另外的子节点，继续向下遍历，没有就向上返回一级，直到所有的节点都被遍历到，每个节点只能访问一次。

算法步骤：

使用栈的数据结构实现

1. 首先将根节点1压入栈中【1】
2. 将1节点弹出，找到1的两个子节点3，2，首先压入3节点，再压入2节点（后压入左节点的话，会先取出左节点，这样就保证了先遍历左节点），2节点再栈的顶部，最先出来【2，3】
3. 弹出2节点，将2节点的两个子节点5，4压入【4，5，3】
4. 弹出4节点，将4的子节点9，8压入【8，9，5，3】
5. 弹出8，8没有子节点，不压入【9，5，3】
6. 弹出9，9没有子节点，不压入【5，3】
7. 弹出5，5有一个节点，压入10，【10，3】
8. 弹出10，10没有节点，不压入【3】
9. 弹出3，压入3的子节点7，6【6，7】
10. 弹出6，没有子节点【7】
11. 弹出7，没有子节点，栈为空【】，算法结束

出栈顺序【1，2，4，8，9，5，10，3，6，7】

#include <stack>
#include <memory>
#include <vector>

//树结构
typedef struct Node {
    int value;
    vector<shared_ptr<Node>> pChild;
    weak_ptr<Node> pParent;
} Node;

//深度优先打印节点
void printNodesDeepFirst(const shared_ptr<Node> &node) {
    stack<shared_ptr<Node>> myStack;
    myStack.push(node);
    while (myStack.size() > 0) {
        shared_ptr<Node> pTmp = myStack.top();
        myStack.pop();
        PRINT("%d ", pTmp->value);

        //由于栈的后进先出特性，需要倒序使左节点先出
        for (int i = pTmp->pChild.size(); i != 0; --i) {
            myStack.push(pTmp->pChild[i - 1]);
        }
    }
    PRINT("\r\n");
}

广度优先遍历

广度优先遍历（Breadth First Search），简称BFS；广度优先遍历的原则就是对每一层的节点依次访问，一层访问结束后，进入下一层，直到最后一个节点，同样的，每个节点都只访问一次。

算法步骤：

使用队列的数据结构实现

1. 节点1，插入队列【1】
2. 取出节点1，插入1的子节点2，3 ，节点2在队列的前端【2，3】
3. 取出节点2，插入2的子节点4，5，节点3在队列的最前端【3，4，5】
4. 取出节点3，插入3的子节点6，7，节点4在队列的最前端【4，5，6，7】
5. 取出节点4，插入3的子节点8，9，节点5在队列的最前端【5，6，7，8，9】
6. 取出节点5，插入5的子节点10，节点6在队列的最前端【6，7，8，9，10】
7. 取出节点6，没有子节点，不插入，节点7在队列的最前端【7，8，9，10】
8. 取出节点7，没有子节点，不插入，节点8在队列的最前端【8，9，10】
9. 取出节点8，没有子节点，不插入，节点9在队列的最前端【9，10】
10. 取出节点9，没有子节点，不插入，节点10在队列的最前端【10】
11. 取出节点10，队列为空，算法结束

我们看一下节点出队的顺序【1，2，3，4，5，6，7，8，9，10】

#include <queue>
#include <memory>
#include <vector>

//树结构
typedef struct Node {
    int value;
    vector<shared_ptr<Node>> pChild;
    weak_ptr<Node> pParent;
} Node;

//广度优先打印节点
void printNodesWidthFirst(const shared_ptr<Node> &node) {
    queue<shared_ptr<Node>> myQueue;
    myQueue.push(node);
    while (myQueue.size() > 0) {
        shared_ptr<Node> pTmp = myQueue.front();
        myQueue.pop();
        PRINT("%d ", pTmp->value);

        for (auto tmp : pTmp->pChild) {
            myQueue.push(tmp);
        }
    }
    PRINT("\r\n");
}

2) 度

• 孩子结点个数就是结点的度，0度就是没有孩子结点
• 树的度就是结点中最大的度

1.2. 二叉树

1) 性质和算法

(1) 二叉树前中后序遍历

• 前序遍历指先访问根，然后访问子树的遍历方式

void in_order_traversal(TreeNode *root) {
    // Do Something with root
    if (root->lchild != NULL)
        in_order_traversal(root->lchild);
    if (root->rchild != NULL)
        in_order_traversal(root->rchild);
}

• 中序遍历指先访问左（右）子树，然后访问根，最后访问右（左）子树的遍历方式

void in_order_traversal(TreeNode *root) {
    if (root->lchild != NULL)
        in_order_traversal(root->lchild);
    // Do Something with root
    if (root->rchild != NULL)
        in_order_traversal(root->rchild);
}

• 后序遍历指先访问子树，然后访问根的遍历方式

void in_order_traversal(TreeNode *root) {
    if (root->lchild != NULL)
        in_order_traversal(root->lchild);
    if (root->rchild != NULL)
        in_order_traversal(root->rchild);
    // Do Something with root
}

(2) 完全二叉树和满二叉树

• 满二叉树，只有最后一行是叶子节点，其他的节点都是度为2的节点
• 完全二叉树指的是除了最后一行，整体是满二叉树，最后一行叶子节点从左到右依次排列

2) 二叉搜索树

二叉查找树（Binary Search Tree），（又：二叉搜索树，二叉排序树）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：
若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
它的左、右子树也分别为二叉排序树。

性质

二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。搜索,插入,删除的复杂度等于树高，O(log(n)).

3) 大（小）根堆（优先队列）

大（小）根堆是堆的两种形式之一。根结点（亦称为堆顶）的关键字是堆里所有结点关键字中最大（小）者，称为大（小）根堆，又称最大（小）堆、大（小）顶堆。大（小）根堆要求根节点的关键字既大（小）于或等于左子树的关键字值，又大（小）于或等于右子树的关键字值。
普通的队列是一种先进先出的数据结构，元素在队列尾追加，而从队列头删除。在优先队列中，元素被赋予优先级。当访问元素时，具有最高优先级的元素最先删除。优先队列具有最高级先出 （first in, largest out）的行为特征。通常采用堆数据结构来实现。

性质和应用

• 最大或最小值在堆顶，可以用于排序数组
• 可以用队列表示，第$i$个元素大于或者小于第$i * 2$和第$i * 2 + 1$个元素
• 最基本的应用，查找数组最小（大）k个值
• C++标准库有接口可以直接应用

4) 红黑树

参考 红黑树(R-B tree)原理图文详解

(1) 红黑树的特性和应用

• 红黑树的查找和插入时间复杂度都是 $O(\log n)$，相比hash表更加稳定

应用

• std::map和std::set使用的是红黑树
• epoll的底层实现是用红黑树组织fd

1.3. 线段树

用于求区间值的一种数据结构

1) 原理

线段树是一个平衡二叉树，母节点代表整个区间的和，越向下区间越小。对于一个数组[1, 2, 3, 4, 5]，构建线段树如下

某个节点对应线段为[a, b]，设 $mid = \frac{l+r}{2}$ 向下取整，两个子节点对应线段是[a, mid]和[mid+1, b]，左区间数量比右区间数量相等或多一个

2) 示例1 区间和的个数

题目

给你一个整数数组 nums 以及两个整数 lower 和 upper 。求数组中，值位于范围 [lower, upper] （包含 lower 和 upper）之内的 区间和的个数 。

区间和 S(i, j) 表示在 nums 中，位置从 i 到 j 的元素之和，包含 i 和 j (i ≤ j)。

2. hashTable 哈希表

2.1. 为什么哈希表的除数要用素数

参考自 腾讯面试真题：证明为什么哈希表除m取余法的被除数为什么用素数比较好

• 使用合数可能和等差数列的差值含有公因数，导致碰撞概率增大

1) 假设

• 传入的key是等差数列: 首项1，差值从2到5，长度10
• 两个hash表，一个使用6取模，一个使用7取模

2) 效果

差值2

余数	0	1	2	3	4	5
首次		1		3		5
碰撞		7		9		11
碰撞		13		15		17
碰撞		19

余数	0	1	2	3	4	5	6
首次	7	1	9	3	11	5	13
碰撞		15		17		19

差值3

余数	0	1	2	3	4	5
首次		1			4
碰撞		7			10
碰撞		13			16
碰撞		19			22
碰撞		25			28

余数	0	1	2	3	4	5	6
首次	7	1	16	10	4	19	13
碰撞	28	22			25

差值4

余数	0	1	2	3	4	5
首次		1		9		5
碰撞		13		21		17
碰撞		25		33		29
碰撞		37

余数	0	1	2	3	4	5	6
首次	21	1	9	17	25	5	13
碰撞		29	37			33

差值5

余数	0	1	2	3	4	5
首次	6	1	26	21	16	11
碰撞	36	31			46	41

余数	0	1	2	3	4	5	6
首次	21	1	16	31	11	26	6
碰撞		36			46		41

3) 结论

• 如果差值和被除数之间不含有公因数，效果一样
• 如果含有公因数，碰撞概率会变高

2.2. 为什么内核中hashmap的数组数量取2^n

如果hash算法很好，算出来的hash随机，这样进行取余操作时可以保证hash随机性比较好。那么取余操作就会性能比较高。

3. bitmap 位图

3.1. 原理

• 一个int表示32位，可以表示32个数字，即

0	1	2	3	…	31
0	0	1	0	…	1

• 代表2和31都在集合中
• 按照在二进制中的位置表示对应的数字
• 使用数组可以将一个很大的内存区域集合在一起，根据对应的位置说明对应的数字

3.2. 举例

• 对一大批不同的11位qq号进行排序

1) 实现

• 11位qq号最大99999999999，也就是需要 $1 \times 10^{12}$ 个bit保存
• 计算成int数组 $1 \times 10^{12} / 32 = 31250000000$

#define MAX_QQ_NUMBER 99999999ll
const long BITS_PER_LONG = 8 * sizeof(long);
long qq_bitmap[MAX_QQ_NUMBER / BITS_PER_LONG + 1] = {0};

void set_qq_bitmap(long long qq) {
    if (qq > MAX_QQ_NUMBER) return;
    // 假设32位，long为32位
    // 先将输入的qq按照32一组找到对应的位置，然后将在其在32个一组中的位置置1
    // 61 => qq_bitmap[1] |= (1 << 29)
    qq_bitmap[qq / BITS_PER_LONG] |= (1 << (qq % BITS_PER_LONG));
}

long check_qq_bitmap(long long qq) {
    if (qq > MAX_QQ_NUMBER) return 0;
    // 同理，找到qq按照32个一组的位置，检查对应的32个数字中的位置是否为1
    return qq_bitmap[qq / BITS_PER_LONG] & (1 << (qq % BITS_PER_LONG));
}

4. ST 稀疏表

4.1. 原理

• 本身是解决区间问题，也就是给一个序列，找到a-b之间的最大值（或者其他值）为x的有几组
• 这种题目暴力解决，需要先计算所有两个点之间的最大值存到一个 $n \times n$ 的表里面，然后遍历表进行统计，空间复杂度和时间复杂度太高
• 使用稀疏表可以使用比较少的空间并节省大量的计算，用到的矩阵大小是 $n \times log_2 n$
• 首次对数据进行预处理形成一个稀疏表后，可以直接进行 $O(1)$ 的查询
• 整理成的矩阵的每个元素代表（拿取最大值表示）

$$
st[j][i] = \max \limits_{j \le x \le j + 2^{i}-1} arr[x]
$$

• 想要取a到b之间的结果，那么取 $s = log_2(b-a+1)$

$$
f(a, b) = \max(st[a][s], st[b-2^{s}+1][s])
$$

• 其中 $a + 2^{s}-1 = a + (b - a + 1) - 1 = b \ge a = b - (b - a + 1) + 1 = b - 2^{s} + 1$

5. 并查集

5.1. 原理

• 找关系，给一系列点，给出一些点和点的关系。然后找出某两个点是否有关系
• 单一一个可以直接使用bfs解就好了，如果空间不足，使用并查集可以做到 $O(n)$ 的空间复杂度
• 首先将所有点初始化关系只有自己和自己
• 然后遍历一边关系列表，将点和点连接起来，找到公共的父级
• 查找时就是看是否两个点存在公共父级

5.2. 实现

• 主要实现两个方法，查找和插入
• 由于查找要用递归，想要减少递归深度，每次查找，整条链上的所有节点的父级都要指向最终点，这样下次只有一级查找

// 函数外模板
type unionFind []int

func initUnionFind(n int) unionFind {
	u := make(unionFind, n)
	for i := range u {
		u[i] = i
	}
	return u
}

func (u unionFind) find(a int) int {
	ap := u[a]
	// 找到最终节点
	for ap != u[ap] {
		ap = u[ap]
	}
	// 沿途都赋值最终节点
	for a != ap {
		u[a], a = ap, u[a]
	}
	return ap
}

// 把a的子集合并到b上，如果b是树根节点，a的所有子节点查找都会查找到b
func (u unionFind) merge(a, b int) {
	u[u.find(b)] = u.find(a)
}

• 函数内并查集模板

func test() {
	// 并查集模板
	uf := make([]int, n)
	for i := range uf {
		uf[i] = i
	}
	find := func(x int) int {
		ap := uf[x]
		// 找到最终节点
		for ap != uf[ap] {
			ap = uf[ap]
		}
		// 沿途都赋值最终节点
		for x != ap {
			uf[x], x = ap, uf[x]
		}
		return ap
	}
	// 把a的子集合并到b上，如果b是树根节点，a的所有子节点查找都会查找到b
	merge := func(a, b int) {
		uf[find(a)] = find(b)
	}
}

四、算法

1. 排序算法

时间复杂度总结

定理

• $N$个互异数的数组的平均逆序数是 $N(N-1)/4$ 。
• 通过交换相邻元素进行排序的任何算法平均需要 $\Omega(N^2)$ 时间。

1.1. 插入排序

原理

• 自我理解像扑克牌起牌一样，一张一张插入到已有的序列中

/*
 * @function 用插入排序数组
 * @param data 数组首地址
 * @param length 数组长度
 * @param order 排列顺序：顺序，true；倒序，false
 */
template<typename T>
void insertionSort(T *data, int length, bool order = true) {
    T tmp = 0;
    for (int i = 1; i < length; ++i) {
        tmp = data[i];
        int j = 0;
        for (j = i; j > 0 && ((data[j - 1] > tmp) ^ !order); --j) {
            data[j] = data[j - 1];
        }
        data[j] = tmp;
    }
}

1.2. 希尔排序

• 带间隔的插入排序

/*
 * @function 用希尔增量的希尔排序数组
 * @param data 数组首地址
 * @param length 数组长度
 * @param order 排列顺序：顺序，true；倒序，false
 */
template<typename T>
void shellSort(T *data, int length, bool order = true) {
    T tmp = 0;
    for (int increment = length / 2; increment > 0; increment /= 2) {
        for (int i = increment; i < length; ++i) {
            tmp = data[i];
            int j = 0;
            for (j = i; j >= increment && ((data[j - increment] > tmp) ^ !order); j -= increment) {
                data[j] = data[j - increment];
            }
            data[j] = tmp;
        }
    }
}

定理

• 使用希尔增量时希尔排序的最坏情形的运行时间为 $\Theta(N^2)$ 。
• 使用Hibbard增量的希尔排序的最坏情形运行时间为 $\Theta(N^{\frac{3}{2}})$

1.3. 堆排序

• 大根堆或小根堆，保证父节点一定大于（小于）子节点，头节点为最大（最小）的

1.4. 快速排序（分治思想）

• 选定一个中轴数，将数组分为大于和小于的部分，中轴放中间
• 对大于部分和小于部分分别做同样的事

2. 最短路径算法

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到某个节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

算法描述

type pointS struct {
	ch   byte
	step int
}

type littleQueue []pointS

func (q *littleQueue) Push(v interface{}) {
	*q = append(*q, v.(pointS))
}
func (q *littleQueue) Pop() interface{} {
	x := (*q)[len(*q)-1]
	*q = (*q)[:len(*q)-1]
	return x
}
func (q *littleQueue) Len() int           { return len(*q) }
func (q *littleQueue) Less(i, j int) bool { return (*q)[i].step < (*q)[j].step }
func (q *littleQueue) Swap(i, j int)      { (*q)[i], (*q)[j] = (*q)[j], (*q)[i] }

func dijkstra(src byte, dst byte, distMaps map[byte]map[byte]int) int {
	// 定义小根堆，主要为了每次取最小的一个距离进行扩展
	pq := make(littleQueue, 1)
	// 把起点插入
	pq[0] = pointS{src, 0}
	heap.Init(&pq)
	// 记录一下从起点到某一个点的最小距离
	finalDistMap := make(map[byte]int)

	for pq.Len() > 0 {
		// 取头部当前已走的最小距离的点进行拓展
		t := heap.Pop(&pq).(pointS)
		// 如果当前是目的地址，那么步数就是最小的
		// 反证一下，假设存在一个更小的，那么肯定还没到目的点，如果到了，前面会插入到小根堆中，这次就不会取到大的
		//          如果没到，还得再走，距离会是那个点继续加，那么就不可能比当前更小
		if t.ch == dst {
			return t.step
		}
		// 从此点向外走，获取此点能到的最近的点的距离
		distMap := distMaps[t.ch]
		for i, v := range distMap {
			// 从起点到t再走到i的距离
			step := t.step + v
			// 如果记录的到i点距离更小，这个点就不走了，因为之前记录那一次走过了
			if d, ok := finalDistMap[i]; ok && d <= step {
				continue
			}
			finalDistMap[i] = step
			heap.Push(&pq, pointS{i, step})
		}
	}
	return -1
}

func main() {
	// 定义好距离矩阵
	distMaps := make(map[byte]map[byte]int)
	distMaps['A'] = make(map[byte]int)
	distMaps['A']['B'] = 6
	distMaps['A']['C'] = 3
	distMaps['B'] = make(map[byte]int)
	distMaps['B']['A'] = 6
	distMaps['B']['C'] = 2
	distMaps['B']['D'] = 5
	distMaps['C'] = make(map[byte]int)
	distMaps['C']['A'] = 3
	distMaps['C']['B'] = 2
	distMaps['C']['D'] = 3
	distMaps['C']['E'] = 4
	distMaps['D'] = make(map[byte]int)
	distMaps['D']['B'] = 5
	distMaps['D']['C'] = 3
	distMaps['D']['E'] = 2
	distMaps['D']['F'] = 3
	distMaps['E'] = make(map[byte]int)
	distMaps['E']['C'] = 4
	distMaps['E']['D'] = 2
	distMaps['E']['F'] = 5
	distMaps['F'] = make(map[byte]int)
	distMaps['F']['D'] = 3
	distMaps['F']['E'] = 5
	// A => F 最短路径为 A => C => D => F = 9
	fmt.Println(dijkstra('A', 'F', distMaps))
}

Floyd算法

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。

算法描述

使用距离矩阵，从第一个顶点开始，计算所有两个点通过1点的路径是否是最短。然后再从第二个顶点开始，同样计算所有两个点的路径是否是最短，直到所有点计算完毕，得到的距离矩阵即为最短路径。

示例

#include "log.hpp"

#include <iostream>
#include <memory>
#include <vector>
#include <fstream>
#include <map>

#define InputFileName "../input.txt"

using namespace std;

//按行返回数据
int readFile(string &input) {
    input = "";
    static ifstream inFile(InputFileName);
    if (!inFile) {
        LOG_ERROR("Failed to open file %s", InputFileName);
        return -1;
    }

    while (!inFile.eof()) {
        char buf[128];
        inFile.getline(buf, 128);
        input = string(buf);
        return 0;
    }

    return -1;
}

//将字母转成数字
int getIndex(char a) {
    switch (a) {
        case 'A':
            return 0;

        case 'B':
            return 1;

        case 'C':
            return 2;

        case 'D':
            return 3;

        case 'E':
            return 4;

        case 'F':
            return 5;

        default:
            return -1;
    }
}

//将数字转成字母
char getChar(int a) {
    switch (a) {
        case 0:
            return 'A';

        case 1:
            return 'B';

        case 2:
            return 'C';

        case 3:
            return 'D';

        case 4:
            return 'E';

        case 5:
            return 'F';

        default:
            return -1;
    }
}

int main() {
    //由于已知点数量，第一行废掉
    string inputStr = "";
    if (readFile(inputStr) != 0) {
        LOG_ERROR("Read file error");
        return -1;
    }

    //定义距离矩阵
    int distance[6][6] = {0};
    for (int i = 0; i < 6; ++i) {
        for (int j = 0; j < 6; ++j) {
            //初始化所有距离为-1
            distance[i][j] = -1;
        }
        //自己到自己为0
        distance[i][i] = 0;
    }

    map<string, string> road;
    while (readFile(inputStr) == 0) {
        int a = getIndex(inputStr[0]);      //第一个点
        int b = getIndex(inputStr[2]);      //第二个点
        int c = stoi(inputStr.substr(3));   //距离
        //赋值给距离矩阵
        LOG_INFO("%c--%c: %d", getChar(a), getChar(b), c);
        distance[a][b] = c;
        //添加到路由表
        char tmp[2] = {getChar(a), getChar(b)};
        road[tmp] = string(tmp);
    }

    for (int k = 0; k < 6; ++k) {
        for (int i = 0; i < 6; ++i) {
            for (int j = 0; j < 6; ++j) {
                //添加key
                char tmp[3] = {getChar(i), getChar(j), 0x00};
                //防止路径遗漏，补充路由表
                if (distance[i][j] != -1 && road.count(tmp) == 0) {
                    road[tmp] = tmp;
                }
                //可通过k到达i且可通过k到达j
                if (distance[i][k] != -1 && distance[k][j] != -1) {
                    //ij之间没有通路或者当前计算的最短路径大于通过k到达的距离
                    if (distance[i][j] == -1 ||
                        distance[i][j] > distance[i][k] + distance[k][j]) {
                        distance[i][j] = distance[i][k] + distance[k][j];
                        //更新路由表
                        char tmp1[3] = {getChar(i), getChar(k), 0x00};
                        char tmp2[3] = {getChar(k), getChar(j), 0x00};
                        string tmpRoad = road[tmp1];
                        tmpRoad.pop_back();     //防止重复字母
                        road[tmp] = tmpRoad + road[tmp2];
                    }
                }
            }
        }
    }

    for (int i = 0; i < 6; ++i) {
        for (int j = 0; j < 6; ++j) {
            PRINT("%d\t", distance[i][j]);
        }
        PRINT("\r\n");
    }

    //打印结果
    PRINT("\r\n");
    LOG_INFO("Result:");
    for (int m = 0; m < 6; ++m) {
        char tmp[3] = {getChar(m), 0x00, 0x00};
        for (int i = 0; i < 6; ++i) {
            tmp[1] = getChar(i);
            LOG_INFO("%c->%c %s: %d", tmp[0], tmp[1], road[tmp].c_str(), distance[m][i]);
        }
    }
}

3. bfs （Breadth-First Search）广度优先遍历

• 广度优先算法比较适合带环的图的最短路径，需要使用seen标记某个点是否被访问过

3.1. 二叉树的广度优先遍历

type TreeNode struct {
	value int
	left  *TreeNode
	right *TreeNode
}

func bfs(root *TreeNode) {
	var queue list.List
	queue.PushBack(&root)
	for queue.Len() > 0 {
		node := queue.Front().Value.(*TreeNode)
		queue.Remove(queue.Front())
		if node.left != nil {
			queue.PushBack(node.left)
		}
		if node.right != nil {
			queue.PushBack(node.right)
		}
		fmt.Println(node.value)	// 这里取值
	}
}

3.2. 方格中找两点最短路径

• 两格之间步数为1，#作为墙不可走

type pointT struct {
	x int
	y int
}

var (
	// 按照上下左右的相对位置设定，用于后面方便找四周的点
	kRoundPoints = [][]int{
		{0, -1},
		{0, 1},
		{-1, 0},
		{1, 0},
	}
)

// 返回从src到dst的最短路径长度，带层间隔版本
func bfsFloor(src pointT, dst pointT, grid []string) int {
	// 减小计算量，走过的路不再走，记录一下哪里走过了
	seen := make([][]bool, len(grid))
	for i := range seen {
		seen[i] = make([]bool, len(grid[0]))
	}
	// 源地址记录走过了，注意x是第二维的坐标
	seen[src.y][src.x] = true

	// 使用层数作为步数
	curDepth := 0
	var queue list.List
	// 插入源地址，作为第一层，使用nil作为层间隔
	queue.PushBack(src)
	queue.PushBack(nil)
	// 队列一定含有一个层间隔，不在头就在尾，如果只剩一个层间隔，说明没路可走
	for queue.Len() > 1 {
		tmp := queue.Front().Value
		queue.Remove(queue.Front())
		if tmp == nil {
			// 找到层间隔，说明当前层遍历完了，步数加一准备下一层
			curDepth++
			// 当前层遍历完，队列剩余的都是下一层，加入一个层间隔
			queue.PushBack(nil)
			continue
		}

		// 判断当前点是不是目标点，如果是，说明走到了，返回步数
		tx, ty := tmp.(pointT).x, tmp.(pointT).y
		if tx == dst.x && ty == dst.y {
			return curDepth
		}
		// 不是目标点，从此点出发，向四周走一下
		for i := range kRoundPoints {
			px, py := tx+kRoundPoints[i][0], ty+kRoundPoints[i][1]
			// 如果超出边界或者已经走过了或者碰到墙，就继续
			if py < 0 || py >= len(grid) || px < 0 || px >= len(grid[0]) || seen[py][px] || grid[py][px] == '#' {
				continue
			}
			// 这个点可以走，走上去，记录到队列中，作为下一层的起点
			seen[py][px] = true
			queue.PushBack(pointT{px, py})
		}
	}
	return -1
}

type pointST struct {
	x    int
	y    int
	step int
}

// 返回从src到dst的最短路径长度
func bfs(src pointST, dst pointST, grid []string) int {
	// 减小计算量，走过的路不再走，记录一下哪里走过了
	seen := make([][]bool, len(grid))
	for i := range seen {
		seen[i] = make([]bool, len(grid[0]))
	}
	// 源地址记录走过了，注意x是第二维的坐标
	seen[src.y][src.x] = true

	var queue list.List
	// 插入源地址
	queue.PushBack(src)
	for queue.Len() > 0 {
		tmp := queue.Front().Value.(pointST)
		queue.Remove(queue.Front())

		// 判断当前点是不是目标点，如果是，说明走到了，返回步数
		if tmp.x == dst.x && tmp.y == dst.y {
			return tmp.step
		}
		// 不是目标点，从此点出发，向四周走一下
		for i := range kRoundPoints {
			px, py := tmp.x+kRoundPoints[i][0], tmp.y+kRoundPoints[i][1]
			// 如果超出边界或者已经走过了或者碰到墙，就继续
			if py < 0 || py >= len(grid) || px < 0 || px >= len(grid[0]) || seen[py][px] || grid[py][px] == '#' {
				continue
			}
			// 这个点可以走，走上去，记录到队列中，作为下一层的起点
			seen[py][px] = true
			queue.PushBack(pointST{px, py, tmp.step+1})
		}
	}
	return -1
}

func main() {
	/*
		@ # . . *
		. . . # .
		# . . . .
	*/
	grid := []string{"@#..*", "...#.", "#...."}
	// @ 到 * 的最短距离为6
	fmt.Println(bfs(pointST{0, 0, 0}, pointST{4, 0, 0}, grid))
	fmt.Println(bfsFloor(pointT{0, 0}, pointT{4, 0}, grid))
}

4. dfs （Depth-First Search）深度优先遍历

• dfs一般需要使用递归，可以用于无环图的最短路径查找，可以使用上一步走过的节点来防止重入

4.1. 获取无环图的两个节点之间的路径

// 起点、终点、上一个点，关系
// cb调用的是所有路上的节点，调用顺序是从e到s，因为dfs从最深处返回
func dfs(s, e, last int, rel [][]int, cb func(n int)) bool {
	if s == e {
		cb(e)
		return true
	}
	// 从起点出发，所有能走的点走一遍
	for _, v := range rel[s] {
		// 上一次就是这个点，不能回去
		// 或此路不通，继续
		if v == last || !dfs(v, e, s, rel, cb) {
			continue
		}
		// 此路可以到达，将当前点输出出去
		cb(s)
		return true
	}
	// 都到不了
	return false
}

func main() {
	/*
				 1
			   /   \
			  2     3
			 /\    / \
			4  5  0   6
			  / \
			 7   8
			/
		   9
	*/
	// 关系图，代表某个点和哪个点连接
	rel := [][]int{
		{3},       // 0
		{2, 3},    // 1
		{1, 4, 5}, // 2
		{0, 1, 6}, // 3
		{2},       // 4
		{2, 7, 8}, // 5
		{3},       // 6
		{5, 9},    // 7
		{5},       // 8
		{7},       // 9
	}

	road := make([]int, 0, 10)
	dfs(4, 6, -1, rel, func(n int) { road = append(road, n) })
	fmt.Println(road) // 6 3 1 2 4

	road = road[:0]
	dfs(4, 4, -1, rel, func(n int) { road = append(road, n) })
	fmt.Println(road) // 4

	road = road[:0]
	dfs(9, 8, -1, rel, func(n int) { road = append(road, n) })
	fmt.Println(road) // 8 5 7 9
}

5. 全排列算法（回溯法）

• 原理是遍历替换首字母和后面的字符，替换到最后输出

// 全排列
func permutation(str []byte, index int, f func(str []byte)) {
	if len(str) == index {
        // 这里输出结果
		f(str)
		return
	}

	// 不交换的场景
	permutation(str, index+1, f)
	// index对应位置向后交换
	for i := index + 1; i < len(str); i++ {
		str[i], str[index] = str[index], str[i]
		permutation(str, index+1, f)
		str[i], str[index] = str[index], str[i]
	}
}

6. 动态规划

• 动态规划一般是推导真实场景的某一状态和下一状态之间的关系
• 根据两个状态的关系列出方程，然后从第一个状态不断向状态n靠近

6.1. 背包算法

1) 01背包

• 主要解决选元素的方案数的问题
• 思想是考虑选择出来的元素要装到背包中，每个元素都有装或者不装两个选择
• 背包本身的价值可以使用map进行枚举，每个元素选择是否装入背包，装入则背包价值增加
• 每个价值的方案数因为一个元素的加入可以列出状态转移方程

$$
count(价值) = count(不包含这个元素时已有的方案数) + f(加上这个元素可以达到价值对应的方案数)
$$

• 典型题目: 无平方子集，对应讲解

6.2. 数位dp

• 主要求某个上线以下满足某个条件的数的数量
• 一般上界很大，暴力会超时
• 主要思想是记忆化搜索，从最高位开始，向低位遍历每一位能取到的值，记忆一个状态下去

1) 记忆化搜索模板

• 在小于上界范围内，如果数可以从0到最大的n个9，同一个状态下，数量是一样的，记录下来不用重复统计
• 不可以取到最大n个9的单独计算

// 数位dp模板
func NumDP() {
	var mod int = 1e9 + 7
	max_sum := 10

	stateNum := max_sum
	// 返回小于s的满足条件的数量
	getCount := func(s string) int {
		// 状态记忆数组，第一维是位数，第二维是状态（状态根据具体情况来），value是从这一位向后满足状态的数量
		memo := make([][]int, len(s))
		for i := range memo {
			memo[i] = make([]int, stateNum+1)
			for j := range memo[i] {
				memo[i][j] = -1
			}
		}

		// p为当前要枚举的位，0是最高位，len(s)-1是最低位
		// sum是前面位数的和
		// limitUp代表前面的数位是否都到达上界
		var dfs func(p, sum int, limitUp bool) (res int)
		dfs = func(p, sum int, limitUp bool) (res int) {
			// 处理一些限制条件
			// TODO
			if p == len(s) {
				// 到最后一位了，满足条件返回1，不满足返回0
				// TODO
				if true {
					return 1
				}
				return
			}

			if !limitUp {
				// 没到上界才能取状态下的值，否则状态是假的
				tmp := memo[p][sum]
				if tmp >= 0 {
					return tmp
				}
				defer func() { memo[p][sum] = res }()
			}
			up := 9
			if limitUp {
				up = int(s[p] - '0')
			}
			for d := 0; d <= up; d++ {
				res = (res + dfs(p+1, sum+d, limitUp && d == int(s[p]-'0'))) % mod
			}
			return
		}
		return dfs(0, 0, true)
	}
	getCount("1234")
}

2) 示例

(1) 求不大于给定数字s，所有位数相加小于n的数量，答案对1000000007取模

• 直接套用模板，限定条件带入，状态定义好

// 数位dp模板
func count(s string, n int) int {
	var mod int = 1e9 + 7

	stateNum := n
	// 状态记忆数组，第一维是位数，第二维是状态（状态为前面位加在一起的和），value是从这一位向后满足状态的数量
	memo := make([][]int, len(s))
	for i := range memo {
		memo[i] = make([]int, stateNum+1)
		for j := range memo[i] {
			memo[i][j] = -1
		}
	}

	// p为当前要枚举的位，0是最高位，len(s)-1是最低位
	// sum是前面位数的和
	// limitUp代表前面的数位是否都到达上界
	var dfs func(p, sum int, limitUp bool) (res int)
	dfs = func(p, sum int, limitUp bool) (res int) {
		// 处理一些限制条件
		// 和不能大于n
		if sum > n {
			return 0
		}
		if p == len(s) {
			return 1
		}

		if !limitUp {
			// 没到上界才能取状态下的值，否则状态是假的
			tmp := memo[p][sum]
			if tmp >= 0 {
				return tmp
			}
			defer func() { memo[p][sum] = res }()
		}
		up := 9
		if limitUp {
			up = int(s[p] - '0')
		}
		for d := 0; d <= up; d++ {
			res = (res + dfs(p+1, sum+d, limitUp && d == int(s[p]-'0'))) % mod
		}
		return
	}
	return dfs(0, 0, true)
}

func main() {
	fmt.Println(count("12", 8))	// 12
	fmt.Println(count("13", 8))	// 13
	fmt.Println(count("19", 8))	// 17
}

7. gcd 最大公约数算法

• 利用欧几里得算法，即辗转相除法

证明

• a可以表示成 $a = kb + r$（a，b，k，r皆为正整数，且 $r<b$ ），则 $r = a\ mod\ b$
• 假设d是a,b的一个公约数，记作 $d|a, d|b$，即a和b都可以被d整除。
• 而 $r = a - kb$，两边同时除以d， $r/d = a/d - kb/d = m$，由等式右边可知m为整数，因此 $d|r$
• 因此d也是 $b, a\ mod\ b$ 的公约数
• 假设d是 $b, a\ mod\ b$ 的公约数, 则 $d|b,d|(a - k \times b)$，k是一个整数
• 因此 $(a, b)$ 和 $(b,a\ mod\ b)$ 的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

代码

func gcd(a int, b int) int {
    // 当a为最大公约数时，计算后a = 0，b = a
	for a != 0 {
		a, b = b%a, a
	}
	return b
}

8. 选取中位数

• 可以使用两个堆，一个大根堆一个小根堆，中间的就是中位数

9. 位运算的骚操作

9.1. 取反

1) 从低到高找第一个1

• 取反加1，再和原来数字与一下

func getFirst(i int) int {
	v := (^i) + 1
	return i & v
}

• 举个例子，0b00110010，取反0b11001101，加一0b11001110，与一下原来的数0b00000010

9.2. 异或

1) 0和1的互转

func main() {
	a := 1
	fmt.Println(a) // 1
	a ^= 1
	fmt.Println(a) // 0
	a ^= 1
	fmt.Println(a) // 1
}

9.3. 与运算

1) 2的幂次取整

向下取整

• 直接二进制上与要取整的数减一取反就好了，如要对8也就是0b1000取整，就是与上0b11111000

向上取整

• 由于需要有多余位就加一个，防止判断可以使用加上取整的数减一然后再对其取反相与
• 如要对8向上取整就是(i + 0b00000111) & 0b11111000

10. LCA （Lowest Common Ancestor）最近公共祖先算法

• 主要处理无环图的两个点的公共祖先，一般用于求两个点之间的路径

10.1. Tarjan算法处理LCA

• 一次遍历把所有询问解决完
• 有个通俗的解释，十分清晰说明这个算法，参考 如何理解 Tarjan 的 LCA 算法？

一个熊孩子Link从一棵有根树的最左边最底下的结点灌岩浆，Link表示很讨厌这种倒着长的树。岩浆会不断的注入，直到注满整个树…如果岩浆灌满了一棵子树，Link发现树的另一边有一棵更深的子树，Link会先去将那棵子树灌满。岩浆只有在迫不得已的情况下才会向上升高，找到一个新的子树继续注入。机(yu)智(chun)的Link发现了找LCA的好方法，即如果两个结点都被岩浆烧掉时，他们的LCA即为那棵子树上岩浆最高的位置。

• 所以我们可以从根节点开始，向下走，当两个点都走到了，当前子树的根节点就是最近公共祖先，用并查集处理当前子树的根节点

func main() {
	/*
				 0
			   /   \
			  2     3
			 /\    / \
			4  5  1   6
			  / \
			 7   8
			/
		   9
	*/
	// 关系图，代表某个点和哪个点连接
	rel := [][]int{
		{2, 3},    // 0
		{3},       // 1
		{0, 4, 5}, // 2
		{0, 1, 6}, // 3
		{2},       // 4
		{2, 7, 8}, // 5
		{3},       // 6
		{5, 9},    // 7
		{5},       // 8
		{7},       // 9
	}
	n := 10

	trips := [][]int{
		{4, 9}, // 2
		{5, 6}, // 0
		{1, 6}, // 3
		{9, 0}, // 0
		{7, 8}, // 5
	}
	qs := map[int][]int{}
	for _, v := range trips {
		x, y := v[0], v[1]
		qs[x] = append(qs[x], y)
		if x != y {
			// 这里防止自己走到自己多算一遍
			qs[y] = append(qs[y], x)
		}
	}

	// 并查集模板
	uf := make([]int, n)
	for i := range uf {
		uf[i] = i
	}
	find := func(x int) int {
		ap := uf[x]
		// 找到最终节点
		for ap != uf[ap] {
			ap = uf[ap]
		}
		// 沿途都赋值最终节点
		for x != ap {
			uf[x], x = ap, uf[x]
		}
		return ap
	}
	// 把a的子集合并到b上，如果b是树根节点，a的所有子节点查找都会查找到b
	merge := func(a, b int) {
		uf[find(a)] = find(b)
	}

	color := make([]bool, n)
	var tarjan func(a, fa int, cb func(a, b, lca int))
	tarjan = func(a, fa int, cb func(a, b, lca int)) {
		for _, v := range rel[a] {
			if v == fa {
				continue
			}
			tarjan(v, a, cb)
			// 进去出来后，将v为根节点的子树设置公共祖先为a
			merge(v, a)
		}

		// 查一下有没有要求的LCA
		for _, v := range qs[a] {
			if v != a && !color[v] {
				// 自己走到自己是可以计算的，要判断
				// v还没走到，继续
				continue
			}
			cb(a, v, find(v))
		}
		color[a] = true // a被灌了岩浆，也就是a的子树走完了，要向上走了
	}
	// 从0向下走
	tarjan(0, -1, func(a, b, lca int) {
		fmt.Println(a, b, lca)
	})
}

11. 差分

11.1. 数组差分

原数组	9	4	7	5	9
前缀和	9	13	20	25	34
差分	9	-5	3	-2	4
前缀和的差分	9	4	7	5	9
差分的前缀和	9	4	7	5	9

11.2. 树上差分

• 对下面的一棵树

• 如果想要从一个点到另一个点中间经过的所有点都加一，通常做法是dfs遍历，经过的点都加一
• 单独一次请求时间复杂度为 $O(n)$ ，如果q次请求，时间复杂度就是 $O(nq)$
• 使用差分只需要设置两个点和他们的公共祖先和祖先的父级就可以标记，标记的时间复杂度为 $O(n + q)$ ，因为LCA使用Tarjan算法就可以实现一次遍历全部查询出来
• LCA和Tarjan就不多叙述，见上文，这里说明一下差分如何推出原始数组
• 上图的树，假设从节点8到节点6，差分标记8和6都为1，节点3为拐点或称公共祖先，标记-1，3的父节点0标记-1

• 那么一次dfs的处理就是，到根节点，将cnt加上当前值，返回给上一个节点，那么8和6到达3之前的都会设置为1，其他非路径的子树设置为0

• 父节点的树等于两个子节点的和加上当前的差分，节点3就是1 + 1 - 1 = 1，节点0就是1 + 0 - 1 = 0

• 可以发现一次dfs处理后，所有节点都设置完了，而对应走过的路都被标记了1，很完美