一、名词解释

1. HMAC

全称

Hash-based Message Authentication Code
散列消息认证码

说明

使用密码散列函数，结合加密密钥，计算成的消息认证码，主要用于保证数据完整性，同时作为消息的身份认证

2. SHA256

全称

Secure Hash Algorithm 256
安全散列算法256

说明

散列函数的一种，对任意长度的数字，计算一个32byte（256bit）的字符串（message digest）

3. RSA

全称

Rivest-Shamir-Adleman
三个人提出的一种加解密算法

说明

使用不同的加密密钥和解密密钥
已知加密密钥无法推导出解密密钥

二、基本数学知识

1. gcd 最大公约数

全称

Greatest Common Divisor

2. 互质关系

概念

两个数的最大公约数是1，就是互质关系

说明

任意两个质数构成互质关系，比如13和61。
一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。
如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。
1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。
p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。
p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。

3. 余数的几个定理

3.1. $(a\ mod\ n)\ mod\ n = a\ mod\ n$

很好理解，取了余数后再取余数肯定还是自己

3.2. $(a+b)\ mod\ n = (a\ mod\ n+b\ mod\ n)\ mod\ n$

设 $a = k_1n+c_1$ ， $b = k_2n+c_2$

$$ (a+b)\ mod\ n = [(k_1 + k_2)n + c_1 + c_2]\ mod\ n = (c_1 + c_2)\ mod\ n = (a\ mod\ n+b\ mod\ n)\ mod\ n $$

3.3. $a^k\ mod\ n = (a\ mod\ n)^k\ mod\ n$

由上面的 $(a+b)\ mod\ n = (a\ mod\ n+b\ mod\ n)\ mod\ n$ 就可以直接推出来

$$ a^2\ mod\ n = (a+a)\ mod\ n = (a\ mod\ n+a\ mod\ n)\ mod\ n = (a\ mod\ n)^2\ mod\ n $$

4. $a \equiv 1 (mod\ n)$

代表 $a\ mod\ n = 1$

5. 模反元素

如果 $a\ mod\ n = 1$ 那么一定可以找到一个整数b满足 $ab\ mod\ n = 1$，那么b就是a的模反元素

6. 欧拉函数

定义 $\varphi(n)$ 为小于n的，与n互质的正整数个数，几个特例如下

当n为质数 $\varphi(n) = n-1$

7. 欧拉定理

如果 $a\ mod\ n = 1$ 那么一定有 $a^{\varphi(n)}\ mod\ n = 1$

8. 费马小定理

如果p是质数，且a不是p的倍数，则有 $a^{p-1}\ mod\ p = 1$

证明很简单，就是p是质数的情况下， $\varphi(p) = p-1$
由欧拉定理得证

三、算法描述和实现

1. HMAC-SHA256: 摘要算法

使用SHA256生成hash值的HMAC算法

1.1. 算法步骤

摘自从零入门HMAC-SHA256

密钥填充。若密钥比SHA-256算法的分组长度B（512-bit）短，则需在末尾填充0，直到其长度达到单向散列函数的分组长度为止。若密钥比分组长度长，则要用SHA-256算法求出密钥的散列值，然后将这个散列值作为新的密钥；
内部填充。将填充后的密钥与被称为ipad的序列进行异或运算，所形成的值为ipadkey。ipad是将00110110这一序列不断循环反复直到达到分组长度；
与消息组合。将ipadkey与消息组合，也就是将ipadkey附加在消息的开头。
计算散列值。将3的结果输入SHA-256函数，并计算出散列值。
外部填充。将填充后的密钥与被称为opad的序列进行异或运算，所形成的值为opadkey。opad是将01011100这一序列不断循环反复直到达到分组长度。
与散列值组合。将4的散列值拼在opadkey后面。
计算散列值。将6的结果输入SHA-256函数，并计算出散列值，这个散列值就是最终的摘要内容。

1.2. go的上层实现

package main

import (
	"crypto/hmac"
	"crypto/sha256"
	"encoding/hex"
	"fmt"
)

func main() {
	key := "aaaaa"
    str_to_sign := "bbbb"

	sig := hmac.New(sha256.New, []byte(key))
	sig.Write([]byte(str_to_sign))
	fmt.Println(hex.EncodeToString(sig.Sum(nil)))
}

2. RSA算法: 非对称加解密

参考自 RSA算法原理

2.1. 算法原理

任意选取两个不同的大素数 $p$ 和 $q$，计算得到 $n = pq, \varphi(n) = (p-1)(q-1)$
选取一个大整数 $e$ 作为加密密钥，满足 $gcd(e, \varphi(n))=1$，所有大于 $p$ 和 $q$ 的素数都可用做 $e$
确定 $d$ 作为解密密钥，满足 $(de)\ mod\ \varphi(n) = 1$，即 $de = k\varphi(n) + 1, k \ge 1$，所以，知道 $e$ 和 $\varphi(n)$ 很容易计算出d
公开整数 $n$ 和 $e$，保存 $d$
将明文 $m$ 加密成密文 $c$，算法为 $c = E(m) = m^e\ mod\ n$
密文 $c$ 解密成明文 $m$，算法为 $m = D(c) = c^d\ mod\ n$
要求要计算的数据m必须满足 $0 \le m \lt n$

2.2. 密钥安全性

给出n无法很快因式分解出p和q，那么就算不出 $\varphi(n) = (p-1)(q-1)$
没有 $\varphi(n)$ ，只有e无法算出d，也就是无法算出私钥，所以私钥是安全的

2.3. 算法证明

就是要证明 $m = c^d\ mod\ n = (m^e\ mod\ n)^d\ mod\ n$
由余数的几个运算性质得

$$ (m^e\ mod\ n)^d\ mod\ n = m^{ed}\ mod\ n $$

由 $ed\ mod\ \varphi(n) = 1$ 推出 $ed = k\varphi(n) + 1$

$$ m^{ed}\ mod\ n = m^{k\varphi(n) + 1}\ mod\ n $$

加解密的原理的关键就是要证明

$$ m^{k\varphi(n) + 1}\ mod\ n = m $$

1) 当m和n互质

由欧拉定理得到 $m^{\varphi(n)}\ mod\ n = 1$

$$ m^{k\varphi(n) + 1}\ mod\ n = m^{k\varphi(n)}\ mod\ n + m\ mod\ n = (m^{\varphi(n)}\ mod\ n)^k + m = 1^k + m = m $$

2) 当m和n不互质

由于 $n = pq，m \lt n$ 而p和q互质，那么m只能是p或者q的倍数，就假设是p的倍数
由于m是p的倍数，且 $m < n = pq$，那么m一定和q互质，所以 $m^{\varphi(q)}\ mod\ q = 1$，而 $\varphi(n) = (p-1)(q-1)$，那么有

$$ m^{k\varphi(n)}\ mod\ q = m^{k(p-1)(q-1)}\ mod\ q = (m^{q-1}\ mod\ q)^{k(p-1)}\ mod\ q = 1^{k(p-1)}\ mod\ q = 1 $$

此式可以推出 $m^{k\varphi(n)} = k_1 q + 1$，且设 $m = k_2 p$

$$
\begin{aligned}
m^{k\varphi(n)} & = k_1 q + 1 \\
m^{k\varphi(n)} \times m & = k_1 q \times m + m \\
m^{k\varphi(n) + 1} & = k_1 q \times k_2 p + m \\
m^{k\varphi(n) + 1} & = k_1k_2 n + m
\end{aligned}
$$

正好可以证明 $m^{k\varphi(n) + 1}\ mod\ n = m$

3. ECC算法: 非对称加解密算法

参考椭圆曲线加密算法（ECC）

3.1. 算法原理

选取椭圆曲线的一个点G，生成一个私钥d，然后公开G和 $Q = dG$作为公钥

加解密

加密过程是先选取一个随机数r，将明文m使用公钥G和Q加密生成密文： $\{rG, m+rx_Q\}$
解密就是使用私钥d计算，先计算 $rG \times d = rdG = rQ$，然后就有

$$m + r x_Q - r x_Q = M$$

签名验签

签名过程是使用私钥签名，选择随机数r，生成一个点 $rG=(x, y)$
生成明文M的摘要h的签名： $\{rG, \frac{h+x_{rG}d}{r}\}$
验签使用公钥和摘要h计算：

$$ \frac{h}{\frac{h+x_{rG}d}{r}}G + \frac{x_{rG}}{\frac{h+x_{rG}d}{r}}Q = \frac{hr}{h+x_{rG}d}G + \frac{x_{rG}rd}{h+x_{rG}d}G = \frac{(h+x_{rG}d)r}{h+x_{rG}d}G = rG $$

和rG对比即可验签通过

4. ECDHE算法: 密钥交换算法

4.1. 算法原理

通俗来讲，就是定义了一个椭圆曲线上两个点加法的运算，得到的结果也是椭圆曲线上的一个点
由于椭圆曲线上此加法满足交换律、结合律
离散域里面将椭圆曲线和mod结合起来，还是满足交换律和结合律
私钥就是随机选择的一个数d，确定椭圆曲线和椭圆曲线的基点G，公钥就满足

$$
Q = G + G + … + G = dG
$$

两个端分别有 $d_1$ 和 $d_2$，分别基于G算出 $Q_1$ 和 $Q_2$，满足下面的式子

$$
d_1Q_2 = d_1d_2G = d_2d_1G = d_2Q_1
$$

两边使用对方的公钥和自己的私钥就可以计算出一个共同的点(x, y)，其中的x是一样的，这样的x就可以作为对称加密密钥

4.2. 如何保证私钥安全

对外暴露的只有G和 $Q = dG$ ，使用Q和G去计算d需要算好久好久，基本需要一个一个尝试d
而知道d和G计算dQ则很简单，可以直接使用倍加的方式，即使用 $x \times G + x \times G=2x \times G$ 的原理
将d按照二进制分解，从最高位开始算，每遍历一位，结果加上自己（也就是乘2），此位如果是1，结果加上G
d和G计算dG只需要 $O(\log_2,d)$ ，而Q和G计算d则需要 $O(d)$ 的时间复杂度
假设d是256位，那么计算dG则是256个单位时间，而计算d则需要 $2^{256}$ 个单位时间

技术的路上奔跑

密码学原理和实现（go版本）笔记